Applications et intégrales impropres

Imagine que nous ouvrons un robinet et ne le refermons jamais. Le débit d'eau du robinet, mesuré en une certaine unité de volume par unité de temps, peut être donné comme une fonction.

Dans ce cas, nous laissons le débit être décrit par :

La chose ici, c'est qu'après un temps infini, nous n'aurons pas une quantité infinie d'eau qui sera sortie du robinet. Et voici pourquoi.

Sur un petit intervalle de temps, la quantité d'eau s'écoule du robinet. Si nous additionnons toutes ces petites quantités sur l'intervalle de temps infini, nous obtenons l'intégrale :

Si nous laissons ce robinet couler éternellement, nous ne finirions qu'avec 1 unité d'eau !

Rappelle-toi la forme d'une intégrale définie :

où et sont les limites de l'intégration, et est une fonction intégrable sur l'intervalle .

Maintenant est un intervalle ouvert, et l'intégrale définie calculera l'aire sous la courbe de de à . Devons-nous nécessairement inclure les points et ? Pas nécessairement, mais nous devons être prudents, car les points finaux peuvent en faire une intégrale généralisée.

Les intégrales répondant à la première condition sont universellement considérées comme des intégrales généralisées de type 1. De même, celles répondant à la seconde sont appelées intégrales généralisées de type 2.

Cela peut sembler contre-intuitif au premier abord, puisque les intégrales généralisées contiennent toujours des infinis, que l'aire calculée par ce type d'intégrales puisse parfois être un nombre fini. Si c'est le cas, nous disons que l'intégrale converge.

D'autre part, si l'aire sous la courbe obtenue par l'intégrale tend vers l'infini positif ou négatif, nous disons qu'elle diverge.

Le terme convergence n'est pas unique aux intégrales généralisées, comme nous le verrons dans les chapitres futurs, mais partout où il apparaît, il est utilisé pour décrire une quantité qui tend à se rapprocher d'une certaine valeur.

Dans le cas des intégrales généralisées, cette quantité est l'aire sous la courbe. Contrairement à la convergence, la divergence signifie croître ou décroître sans limite.

Considérant que nous sommes intéressés par le fait de savoir si une intégrale généralisée approche une valeur finie ou non, il ne devrait pas être surprenant que la façon dont nous l'évaluons soit par des limites :

Disons que l'intégrale suivante est généralisée :

Regardons comment nous la traiterions en fonction de ce qui la rend généralisée.

Type 1

Si , alors :

Si , alors :

Type 2

Si quand , alors :

Si quand , alors :

Si la limite à laquelle nous égalons l'intégrale généralisée existe en tant que nombre fini, nous disons qu'elle converge vers ce nombre. Sinon, nous disons qu'elle diverge.

Dans le cas où la limite tend vers , nous disons que l'intégrale généralisée diverge vers l'infini positif ou négatif.

Comme méthode alternative de calcul des limites, nous pouvons dans certains cas utiliser le test pour déterminer si une intégrale généralisée converge ou diverge.

Par conséquent, si nous savons que converge, doit nécessairement en faire autant. De même, si diverge, divergera également.

Il s'avère que la chose suivante est vraie à propos des intégrales généralisées des puissances de :

Par exemple, il semble raisonnable en regardant l'image ci-dessous que converge lorsqu'intégrée autour de , mais pas de à l'infini :

Inversement, en regardant ci-dessous, il pourrait sembler assez logique que l'intégration de à l'infini donne une belle convergence, tandis que l'intégration autour de résulte en une divergence.

Dans le test , nous utilisons ces résultats connus pour déterminer si une intégrale généralisée est convergente ou divergente, étant donné que nous savons que la fonction est plus grande ou plus petite que entre les limites d'intégration.

Cette section concerne les intégrales de fonctions avec des trous, des points déviant de manière désobéissante et des asymptotes verticales entre les limites d'intégration. Nous verrons que nous pouvons les intégrer toutes, avec quelques réserves.

Nous avons vu en regardant l'intégrabilité et les propriétés des intégrales que nous pouvons séparer une intégrale en deux sans que cela ne change rien :

si

Disons maintenant que a une asymptote verticale en . Pour calculer l'intégrale, nous devons alors la diviser en deux et écrire :

Comme exemple, calculons l'intégrale de sur .

Nous écrivons :

Maintenant, l'intégrale est parfaitement symétrique autour de , donc nous pouvons la réécrire comme :

et d'après le test pour les intégrales, nous savons que l'intégrale converge, car l'exposant . Ainsi, nous calculons l'intégrale et obtenons :

Devant toi se tient une fonction :

Comment fais-tu pour intégrer sur ? De manière quelque peu surprenante, tu peux en fait intégrer comme d'habitude sans te soucier des points problématiques :

Ceci est valable tant qu'il y a un nombre fini de points sur les limites finies d'intégration où est soit non définie, soit a une valeur de fonction qui sort de la courbe continue.

Alors, continuons, enlève autant de points que tu veux d'une fonction continue, nous pouvons toujours intégrer comme si de rien n'était.

La différence entre ces fonctions et l'exemple d'asymptote verticale est que là, toute la courbe continue partait vers l'infini.

Ici, nous n'avons que des points infiniment petits allant leur propre chemin. Ils ne contribuent réellement à rien aux intégrales : l'aire sous un point infiniment petit est en effet très petite, comparée à l'aire totale.

Jette un coup d'œil à cette chose d'aspect étrange :

Avec certaines valeurs de , correspondant à plusieurs valeurs de , la courbe n'est certainement pas une fonction, et il est important de ne pas la traiter comme telle.

Alors, comment devons-nous plutôt la traiter ? La réponse est la paramétrisation.

En mathématiques, une longueur d'arc est une courbe lisse reliant deux points. Pour une longueur d'arc en deux dimensions, comme celle ci-dessus, nous avons besoin de deux nombres pour décrire les points le long de celle-ci. Nous représentons un point par , qui n'est pas un intervalle, mais des coordonnées.

Au lieu que dépende de selon une certaine fonction comme nous y sommes habitués, ces deux-là dépendront d'une autre variable, un paramètre, généralement noté par .

Maintenant, et peuvent être exprimés comme des fonctions de , appelées les équations paramétriques, indépendantes l'une de l'autre.

La paramétrisation de la fonction d'aire ressemblera à un système d'équations, où seuls les points satisfaisant à ces deux équations se trouveront sur l'arc :

Pour qu'un arc émerge de ces équations, il est nécessaire que et soient des fonctions continues, de sorte qu'il n'y ait pas de lacunes dans la courbe.

Paramétrisez la courbe décrite par l'équation :

Ici, nous voulons exprimer et comme fonctions d'un seul paramètre , c'est-à-dire :

Cela pourrait être fait par :

et la paramétrisation ressemblera à :

Le cercle unité est décrit par l'équation :

Maintenant, nous pouvons décrire le cercle unité en utilisant seulement un paramètre

Cela peut être fait par :

Regarde Snakey :

Tu es biologiste, donc tu aimerais savoir quelle est la longueur de Snakey. Le problème, c'est que Snakey dort. Si tu le prends et l'étires devant une règle, il essaiera de te mordre. Tu ferais mieux de trouver une autre manière de mesurer sa longueur.

Hmmm. Et si on modélisait le corps de Snakey comme une courbe ? Alors tu pourrais vraiment déterminer sa longueur. N'est-ce pas astucieux ?

Disons que le corps de Snakey est exprimé par la courbe , où varie de à, je ne sais pas, . Une petite augmentation de induira un changement dans et . Appelons ces changements et . Le changement global en longueur est donné par le théorème de Pythagore :

Maintenant, essaie de factoriser , de sorte que :

Si tu veux la longueur totale, tu additionnerais tous ces , jusqu'à ce que tu aies parcouru du début à la fin de Snakey. En diminuant , nous aboutissons à une intégrale. Ainsi, la longueur de Snakey peut être écrite comme :

Que se passerait-il si le corps de Snakey correspond à une courbe de fonction ? Alors nous pourrions écrire :

La longueur de Snakey s'avère être :

où et sont les limites d'intégration pertinentes.

Un pont suspendu est accroché entre deux points au-dessus d'une rivière. La distance entre les points est de 4 mètres et le pont suspendu est décrit par la formule :

Si nous voulons calculer la longueur du pont, nous devrions calculer la longueur d'arc :

En différenciant pour obtenir , notre intégrale devient :

Nous avons une courbe dans le plan , ce que nous allons faire, c'est de saisir la courbe et de la faire tourner autour de l'axe des ou des . Ce n'est peut-être pas révolutionnaire, mais c'est joli. Nous verrons comment nous pouvons calculer l'aire de la surface et le volume de l'objet apparaissant.

Voici une fonction tournée autour de l'axe des :

Disons que nous voulons connaître sa surface. Nous allons la construire étape par étape. Appelons un élément infiniment petit de la courbe . Du cours sur la longueur de courbe, nous savons que :

Comme la circonférence d'un cercle est , avec le rayon, l'aire de surface de la bande mince apparaissant lorsque nous faisons tourner autour d'une ligne est :

Si la courbe est tournée autour de l'axe des , le correspond à la valeur de la fonction , c'est-à-dire . Maintenant, pour obtenir la surface entière de révolution, nous devons sommer toutes les bandes minces.

Cela donne la surface de révolution lorsque nous tournons la courbe de autour de l'axe des :

Si la courbe est plutôt tournée autour de l'axe des , le rayon est juste et le reste reste le même. Donc, l'aire de surface est :

Notez que, comme pour les longueurs de courbe, nous exigeons que la fonction soit continue.

Les solides de révolution signifient plus ou moins le volume apparaissant lorsque nous remplissons la surface de révolution.

Cependant, le calcul d'un solide de révolution suit une méthode légèrement différente et, peut-être étonnamment, plus simple.

Nous allons construire le volume à partir de disques minces. Si nous voulons connaître le solide de révolution de entre et , nous découpons l'axe des en petits segments de longueur , en fonction de . Nous utilisons l'indice pour faire référence à l'intervalle .

Pour que la méthode tienne, nous exigeons que soit continue. Alors, par le théorème des acroissementes finis pour les intégrales, il existe une certaine valeur dans chaque intervalle , de sorte que le volume d'un disque est égal à :

Maintenant, si nous laissons le nombre de disques tendre vers l'infini et sommons tous les disques, nous obtenons :

Vous vous demandez peut-être pourquoi nous n'avons pas besoin de nous préoccuper de pour les solides de révolution, alors que nous avons dû le faire pour les surfaces. La raison est que lorsqu'il s'agit de la surface, nous perdons trop de précision si nous remplaçons par .

Disons que nous voulons calculer l'aire de surface d'un cône fabriqué à partir de la rotation de la courbe . Alors, chaque élément est . Cela rend chaque anneau mince dont l'aire de surface est construite fois plus grand en utilisant le bon au lieu de , et c'est une grande différence.

Mais, lors de l'approximation du volume entier, la différence entre l'utilisation de et est négligeable. Rendre les segments de courbe infiniment petits éliminera toute différence entre l'utilisation de ou pour le volume.

Trouver le volume entre de la forme produite en faisant tourner et autour de l'axe des , où :

La première étape consiste à définir quelle sera la zone d'intersection dans notre problème. Pour cela, il peut être utile de noter que dans l'intervalle , comme nous pouvons le voir ci-dessous.

La prochaine étape consiste à définir la zone que chaque fonction englobe. Celles-ci deviennent et .

Nous trouvons que la zone d'intersection est . Nous pouvons facilement le voir dans l'image ci-dessous.

En multipliant par , nous obtenons les éléments de volume . Ensuite, nous intégrons simplement :

Du coup, la volume est .