Comme le suggère le nom, les antidérivées sont les inverses des dérivées. Si une fonction $f(x)$ a pour dérivée $f'(x)$, $f(x)$ est une antidérivée de $f'(x)$. Une fonction $f(x)$ peut à son tour avoir des antidérivées propres, généralement notées $F(x) + C$. La constante $C$ peut toujours être ajoutée car la dérivée élimine toutes les constantes.

Antidérivées

Le logarithme naturel 
      $$\ln(x) = \log_{e}(x)$$ 
      est la fonction logarithmique avec le nombre d'Euler $e$ comme base. Les logarithmes et les fonctions exponentielles ont une relation inverse l'une par rapport à l'autre, et ainsi le logarithme naturel demande : Quel est l'exposant $a$ qui rend $e^{a} = x$.

Le logarithme naturel

Une fonction est une façon de traiter les nombres. Vous entrez un nombre et obtenez un nouveau. L'inverse d'une fonction est alors un processus de refaire, qui prend la vieille sortie et rend l'entrée initiale.

Fonctions inverses

Les fonctions ne sont pas toujours définies pour toutes les entrées. Par exemple, la division par zéro n'est pas autorisée. Pour voir comment la fonction se comporte près d'une telle entrée, nous étudions la limite lorsque l'entrée approche ce point.

Limites

Les entiers sont considérés comme des nombres discrets; ils sont distribués avec des lacunes entre eux. L'ensemble des nombres réels, cependant, est continu, car entre deux réels, vous en trouverez toujours plus. Le même concept s'étend aux fonctions, où une fonction continue est celle sans lacunes.

Continuité

La dérivée d'une fonction donne son taux de changement instantané en tout point. Cela est analogue à la pente d'une ligne parallèle à la fonction à cet endroit, qui, avec le concept de limites, formule la définition de la dérivée :
      $$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

Dérivées

Trouver des dérivées n'est pas toujours simple en utilisant la définition. Heureusement, le sujet est bien étudié, et plusieurs règles pratiques ont été découvertes, simplifiant la tâche en fonction de la forme de la fonction.

Règles de différentiation

Un exemple du théorème des valeurs intermédiaires

Le théorème des valeurs intermédiaires est simple mais puissant : entre deux points sur une fonction continue, la dérivée sera quelque part égale à la pente de la ligne reliant les points.

Pourquoi s'appelle-t-il le théorème de Rolle ?

Quelles sont les conditions requises pour le théorème des valeurs intermédiaires ?

Théorème des valeurs intermédiaires

Si y n'est pas une fonction de x, mais que nous avons toujours une relation entre les deux par une équation, nous ne pouvons pas formuler la dérivée comme une fonction de x. C'est le cas d'un cercle de rayon $a$ : 
      $$x^2 + y^2 = a^2$$
      Une ligne tangente à ce cercle aura une pente de $ -\frac{y}{x}$. Cette dérivée est implicite, contrairement à explicite en fonction de $x$ seul.

Dérivées implicites

Une propriété clé de la fonction exponentielle naturelle $e^{x}$ est qu'elle constitue sa propre dérivée. Cela, avec quelques règles d'exponentiation et de dérivation, peut être utilisé pour trouver la dérivée de n'importe quelle fonction exponentielle :
      $$\frac{d}{dx}a^{x} = a^{x}\ln{a}$$
      De manière similaire, le fait que la dérivée du logarithme naturel est $1/x$ nous aide à déterminer la dérivée de la fonction logarithmique générale :
      $$\frac{d}{dx}\log_{a}(x) = \frac{1}{x\ln(a)}$$

Dérivées des logarithmes et des exponentielles

Les fonctions trigonométriques fournissent des informations sur le rapport des longueurs des côtés $a$, $b$ et $c$ dans un triangle rectangle, étant donné un angle $x$. Maintenant, les fonctions trigonométriques inverses vont dans l'autre sens et exposent les angles, étant donné ces rapports :
      $$\sin(x) = \frac{a}{c} \implies \arcsin\left(\frac{a}{c}\right) = x$$
      $$\cos(x) = \frac{b}{c} \implies \arccos\left(\frac{b}{c}\right) = x$$
      $$\tan(x) = \frac{a}{b} \implies \arctan\left(\frac{a}{b}\right) = x$$

Fonctions trigonométriques inverses

Visualiser une fonction en la dessinant peut être d'une grande aide pour comprendre le problème modélisé par la fonction. Les valeurs extrêmes se produisent à des points qui sont particulièrement intéressants ou utiles pour représenter le tableau.

Valeurs extrêmes et esquisses

Les techniques d'optimisation impliquent souvent une grande partie du calcul. L'idée principale est ce que nous pouvons dire sur une fonction et sa dérivée là où elle prend sa valeur maximale. Comme elle ne va pas augmenter quelle que soit la direction dans laquelle nous changeons $x$, nous trouvons ce point où la dérivée est égale à zéro.

Optimisation

Toute fonction mathématique $f(x)$ peut être écrite sous forme de polynôme de cette forme particulière :
      $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$
      Ce polynôme de Taylor, bien qu'il puisse être d'ordre infini, donne souvent une bonne approximation en considérant suffisamment de termes et en laissant le point de référence $a$ être proche du point $x$ qui nous intéresse. Les termes impliquant des dérivées d'ordre supérieur peuvent alors être négligés sans perte significative de précision.

Polynômes de Taylor

Lorsque la limite d'une fonction n'est pas immédiatement évidente, il existe certaines techniques que nous pouvons employer pour la trouver. Il se pourrait par exemple que la fonction soit le rapport de deux expressions qui tendent toutes deux vers l'infini à mesure que $x$ augmente. Dans un tel cas, nous devons considérer laquelle d'entre elles augmente plus rapidement par rapport à l'autre. Une méthode pour déterminer cela est de comparer les dérivées des expressions.

Calcul des limites

Les intégrales, notées par le symbole emblématique $int$, sont étroitement liées aux antiderivatives. Il s'avère que l'évaluation de l'antidérivée d'une fonction en deux points et le calcul de la différence révèle des informations fondamentales sur la situation que la fonction décrit.

Intégrales

Tout comme il existe des raccourcis pour trouver la dérivée d'une fonction, nous pouvons souvent utiliser des méthodes standard pour intégrer une fonction en fonction du type de fonction que nous avons devant nous.

Techniques d'intégration

Un résultat quelque peu contre-intuitif du calcul est qu'une fonction s'étendant infiniment dans une direction peut néanmoins contenir une aire de taille finie. À la lumière de ce phénomène, il est important de ne pas sauter à des conclusions hâtives lors de la manipulation d'intégrales impropres ; des intégrales impliquant des infinis.

Applications et intégrales impropres

Une série $S$ est une somme de termes infiniment nombreux :
      $$S = \sum_{n}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + ...$$
      L'addition est probablement l'opération mathématique la plus basique et intuitive qui soit, et les séries offrent souvent des moyens agréables et simples de résoudre des problèmes difficiles.

Séries

Si vous avez du mal à comprendre la manière apparemment magique de calculer des aires à l'aide d'intégrales, vous n'êtes pas seul. Ce n'est que lorsque l'intégration a été justifiée par l'analogie avec des sommes de segments infinitésimaux, appelées sommes de Riemann, que la plupart des mathématiciens ont commencé à accepter la méthode.

Sums de Riemann et approximation intégrale

Calculer des intégrales analytiquement peut être douloureux pour des fonctions compliquées. Dans certains cas, ce n'est même pas possible en raison du fait que toutes les fonctions n'ont pas d'antidérivées. En de telles situations, nous sommes heureux d'avoir des méthodes numériques à notre service.

Méthodes numériques

Contrairement aux équations régulières, où nous cherchons à trouver la valeur d'une variable $x$, les équations différentielles expliquent une relation entre une fonction et sa dérivée, et ce que nous recherchons est la fonction d'origine. Une équation différentielle linéaire du premier ordre peut s'écrire sous la forme :
      $$f'(x) + af(x) = 0$$

Équations différentielles linéaires du premier ordre

Une équation différentielle du second ordre est une équation contenant non seulement la dérivée de la fonction que nous voulons trouver, mais aussi la dérivée de cette dérivée :
      $$f''(x) + af'(x) + bf(x) = 0$$

Antidérivées

Fonctions primitives

Exemples

Intégrale indéfinie

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