Une transformation linéaire est toujours définie par rapport à une base donnée. Un défi courant est de déterminer la matrice standard A pour une transformation linéaire donnée avec une autre base.

Transformations linéaires et bases

La diagonalisation est un processus de décomposition d'une matrice carrée A en produit de trois matrices : D, P et P^{-1}, telles que
        $$A = PDP^{-1}$$
        où D est une matrice diagonale contenant les valeurs propres de A et P est une matrice carrée dont les colonnes sont les vecteurs propres de A. Notez que toutes les matrices carrées ne peuvent pas être diagonalisées, seules celles dont les vecteurs propres englobent l'espace R^n.

Diagonalisation

La diagonalisation orthogonale est la même que la diagonalisation régulière, avec l'exigence étendue que les vecteurs propres doivent former une base orthonormale pour R^n. Seules les matrices symétriques peuvent être diagonalisées orthogonalement. Le processus de décision des vecteurs pour la matrice P consiste à appliquer Gram-Schmidt. Ensuite, en raison de la propriété des matrices symétriques, on a que
        $$A = PDP^{-1} = PDP^T$$

Diagonalisation orthogonale

Une base est un ensemble de vecteurs linéairement indépendants qui englobent un sous-espace. Un vecteur est un élément d'un sous-espace, où ses coordonnées sont les représentants scalaires de la combinaison linéaire qui peut être exprimée par les vecteurs de base. Comme une base n'est pas unique pour un sous-espace, chaque vecteur de ce sous-espace peut être exprimé avec des coordonnées pour chacun de ses ensembles de bases.

Changement de base

Un vecteur en physique représente une force avec une direction, une magnitude et une origine données. Mais en algèbre linéaire, un vecteur a les deux premières propriétés mais manque d'une origine. Par conséquent, il peut être déplacé si nécessaire.

Vecteurs

L'équation d'une ligne droite est uniquement définie pour deux dimensions. Cela ne les empêche cependant pas d'exister dans des dimensions supérieures, où nous les définissons sous forme paramétrique ou vectorielle.

Lignes et plans dans l'espace

Regrouper plusieurs équations crée un système d'équations, et une solution pour le système doit résoudre chacune des équations du système. Le système est dit linéaire si chaque équation est de la forme :
        $$
        a_1x_1 + a_2x_2 + \ldots + a_nx_n
        $$

Systèmes linéaires d'équations

Pourquoi la méthode de Gauss Jordan fonctionne-t-elle?

Gauss-Jordan est une méthode pour résoudre un système linéaire d'équations. Chaque système tombe dans l'un des trois cas : solution unique, pas de solutions ou une infinité de solutions. 

Pourquoi est-ce appelé la méthode de Gauss Jordan?

Comment la méthode d'élimination de Gauss est-elle utilisée?

Gauss-Jordan

Les opérations arithmétiques des matrices sont définies pour l'addition, la soustraction et la multiplication. Pour les deux premières, les matrices doivent avoir des dimensions égales et les opérations sont commutatives. La multiplication n'est cependant pas commutative et n'est définie que lorsque le nombre de lignes de la matrice de gauche est égal au nombre de colonnes de la matrice de droite.  

Arithmétique des matrices

L'inverse d'une matrice est une autre matrice, et le produit de la matrice et de son inverse est la matrice identité.

Matrices inverses

Si un vecteur peut être exprimé comme une combinaison linéaire d'autres vecteurs, le groupe est alors considéré comme linéairement dépendant. Sinon, les vecteurs sont considérés comme linéairement indépendants.

Dépendance linéaire

Un espace de solution est l'espace vectoriel contenant toutes les solutions à un système donné. Il suit les propriétés des espaces vectoriels, donc si $\vec{x}_1$ et $\vec{x}_1$ sont des solutions à 
        $$A\vec{x} = \vec{b}$$ 
        alors nous avons que 
        $$k_1\vec{x}_1 + k_2\vec{x}_2$$ 
        est une solution pour toutes les valeurs de $k_1,k_2$.

Espace de solution

Trois types de matrices de forme spéciale sont les matrices diagonales ($D$), les matrices triangulaires ($T$) et les matrices symétriques ($S$) et les matrices antisymétriques ($S_k$).
        $$
        \begin{aligned}
            D &= \left[\begin{array}{cc}
                 d_1 & 0  \\
                 0 & d_2 
            \end{array}\right]
            ,\quad
            T &&= \left[\begin{array}{cr}
                 t_1 & \phantom{-}0  \\
                 t_2 & t_3 
            \end{array}\right]
            \\
            S &= \left[\begin{array}{cc}
                 s_1 & s_2  \\
                 s_2 & s_3 
            \end{array}\right]
            ,\quad
            S_k &&= \left[\begin{array}{cr}
                 s_1 & -s_2  \\
                 s_2 & s_3 
            \end{array}\right]
        \end{aligned}
        $$ 

Matrices de forme spéciale

Quelle est la définition du déterminant?

Le déterminant est une représentation scalaire d'une matrice, définie par un calcul spécifique. L'interprétation géométrique est qu'il s'agit d'un facteur d'échelle pour la transformation linéaire que la matrice représente. Il parle également de savoir si le système d'équations linéaires que la matrice représente a une solution unique ou non.

Pourquoi est-ce appelé la règle de Cramer?

Comment trouver le déterminant d'une matrice carrée?

Déterminant

Le produit vectoriel est un calcul entre deux vecteurs en trois dimensions, et le résultat est un troisième vecteur qui est unique et orthogonal aux deux premiers. La longueur du vecteur résultant est égale à l'aire du parallélogramme que les deux vecteurs forment. Le produit vectoriel peut également être utilisé pour calculer le volume d'un parallélépipède, dans le cadre du calcul appelé produit triple. Étant donné le volume engendré par les trois vecteurs, on calcule un produit vectoriel entre deux d'entre eux, puis on fait un produit scalaire entre le vecteur résultant et le troisième vecteur.

Produit vectoriel, aire et volume

Que signifie un vecteur propre?

Les valeurs propres et les vecteurs propres sont liés à une matrice carrée donnée A. Un vecteur propre est un vecteur qui ne change pas de direction lorsqu'il est multiplié par A, il peut cependant changer de longueur. Lorsque cela est applicable, la longueur est modifiée par un scalaire, qui est la valeur propre correspondante au vecteur propre.

Comment les vecteurs propres sont-ils utilisés en pratique?

Quelle est la définition mathématique d'un vecteur propre?

Valeurs propres et vecteurs propres

Que signifient les transformations linéaires?

Toutes les multiplications de matrices sont des transformations linéaires. Dans le cas général, une transformation pourrait être vue comme une fonction, ou une boîte noire, qui, pour toute entrée donnée, a une sortie. La définition pour que la transformation soit linéaire est que l'opération est cohérente pour deux éléments d'entrée, dans notre cas, deux vecteurs. Soit L une transformation, x et y des vecteurs, et c et k des scalaires. Alors L est une transformation linéaire si, et seulement si,
           
        $$L(cx + ky) = cL(x) + kL(y)$$

À quoi servent les transformations linéaires en pratique?

Quelles sont les exigences pour les transformations linéaires?

Transformations linéaires

Le noyau et l'image sont des sous-espaces liés à une transformation linéaire L représentée par la matrice standard A. Le noyau fait référence à l'espace des solutions du système homogène d'équations linéaires que la matrice A représente, c'est-à-dire les solutions à
        
        $$Ax = 0$$
        
        L'image fait référence au sous-espace de tous les vecteurs résultants y de la multiplication de la matrice A par tous les vecteurs possibles x.
       
        $$Ax = y$$

Noyau et image

Les compositions de transformations linéaires consistent à traiter plusieurs transformations linéaires en séquence. Par exemple, disons que $T$, $R$ et $S$ sont des transformations linéaires. Une composition est alors, par exemple, la sortie $y$ du vecteur $x$ pour
          
        $$T \circ R \circ S(x) = y$$

Compositions de transformations linéaires

Une base est un ensemble de vecteurs linéairement indépendants (par exemple $\vec{v_1}, \ldots \vec{v}_n$) qui englobe un espace vectoriel ou un sous-espace. Cela signifie que tout vecteur $\vec{x}$ appartenant à cet espace peut être exprimé comme une combinaison linéaire de la base pour un ensemble unique de constantes $k_1, \ldots k_n$, telles que :
        $$
        \vec{x} = k_1\vec{v}_1 + \ldots + k_n\vec{v}_n
        $$
        La dimension de l'espace vectoriel correspond au nombre de vecteurs nécessaires pour former une base (la base n'est pas unique). Dans cet exemple, $n$.

Base et dimension

L'espace nul (ou communément appelé noyau) et l'espace des colonnes (ou communément appelé image) sont des espaces liés à une certaine matrice $A$. 
              
        L'espace nul est simplement le nom de l'espace des solutions pour l'équation homogène $A\vec{x} = \vec{0}$. 
        
        L'espace des colonnes (ou communément appelé image) est la plage de la transformation linéaire avec la matrice standard $A$, ce qui signifie tous les vecteurs possibles $\vec{y}$ qui peuvent être mappés via une multiplication par $A$, de sorte que $A\vec{x} = \vec{y}$.

Espace nul et espace des colonnes

Le théorème de la dimension s'applique à une matrice et à son rang (dimension de l'espace des colonnes) et à sa nullité (dimension de l'espace nul). Soit $A$ une matrice $m \times n$, alors nous avons selon le théorème de la dimension que :
        $$
        \operatorname{rang}(A) + \operatorname{nullité}(A) = n
        $$

Théorème de la dimension

Par projection, on fait généralement référence à la projection orthogonale d'un vecteur sur un autre. Le résultat est la contribution représentative du premier vecteur le long de l'autre vecteur projeté. Imaginez avoir le soleil au zénith, projetant une ombre du premier vecteur strictement vers le bas (orthogonalement) sur le deuxième vecteur. Cette ombre est alors la projection orthogonale du premier vecteur sur le deuxième vecteur.

Théorème de la projection

Les moindres carrés sont une méthode appliquée à l'analyse de données et aux statistiques. Elle est utilisée pour décrire la relation entre un certain nombre d'observations et leurs variables explicatives. Supposons que vous ayez un certain nombre d'observations (xn, yn), dont vous souhaitez modéliser la relation par une équation linéaire
        $$c_1x + c_2 = y$$
        où $c_1$ et $c_2$ sont des constantes que nous aimerions déterminer afin d'obtenir l'ajustement optimal de notre ligne aux données. Cela se fait en minimisant la somme de toutes les erreurs, c'est-à-dire la distance à la ligne et à chacun des points de données observés. Cela se calcule facilement en transformant d'abord le système d'équations linéaires en une équation matricielle
        $$Ac = y$$
        et ensuite en multipliant par la transposée de la matrice A par la gauche des deux côtés
        $$A^TAc = A^Ty$$
        ce qui donne un système de matrices carrées ayant une solution unique. La solution est le vecteur c, composé de nos constantes recherchées $c_1$ et $c_2$.

Moindres carrés

Gram-Schmidt est un algorithme permettant de trouver une base orthonormale à un sous-espace donné. L'entrée de l'algorithme est une base connue non orthonormale, et en appliquant le théorème de la projection en séquence, on trouve les vecteurs de base un par un.

Gram-Schmidt

Les équations de la forme
        $$a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + ... + a_nx_n^2$$
        + tous les termes croisés possibles $a_kx_ix_j$ avec $x_ix_j$ distincts
        sont appelées formes quadratiques et peuvent être exprimées avec une matrice unique A
        $$x^TAx$$
        et sa forme géométrique peut être déterminée en étudiant les valeurs propres de la matrice A.

Forme quadratique

Les espaces vectoriels n'ont pas besoin d'être construits à partir de nombres ; ils peuvent être appliqués à partir d'une approche beaucoup plus générale. Une application populaire dans un cours d'algèbre linéaire consiste à couvrir les espaces polynomiaux, où chaque élément de l'espace est un polynôme. Confus ? Cela peut l'être au début, mais ce n'est pas aussi difficile qu'il y paraît à première vue. La chose cruciale est de connaître les axiomes définissant un espace vectoriel V et de s'y conformer. Ces axiomes sont
        <br /><br />
        <ul>
        <li>L'espace V est fermé sous l'addition et la multiplication par un scalaire</li>
        <li>L'addition est à la fois commutative et associative</li>
        <li>La multiplication par un scalaire est à la fois commutative et associative</li>
        <li>Existence d'une identité et d'une inverse pour l'addition </li>
        <li>Existence d'une identité et d'une inverse pour la multiplication par un scalaire</li>
        </ul>

Transformations linéaires et bases

Application linéaires et bases

Matrice de transformation

Matrice de passage

Matrice de transformation par rapport à une autre base

Bon plan pour l'algèbre linéaire et liste de tâches courtes

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