Théorème du rang pour les matrices
Le théorème du rang pour les matrices se présente sous plusieurs variantes, mais même si les formulations sont différentes, elles sont toujours équivalentes. Il concerne les dimensions de la matrice et les dimensions de son espace des colonnes et de son noyau.
(Théorème du rang pour les matrices) Si est une matrice , alors :
où est la dimension de l'espace des colonnes et est la dimension du noyau de A. En d'autres termes, il aurait été possible de reformuler la même phrase comme :
Théorème du rang
Le théorème du rang (a ne pas confondre avec le théorème du rang pour les matrices vu antérieurement, malgré son nom prèsque identique...) concerne l'espace des rangées et l'espace des colonnes de chaque matrice . Il se lit comme suit :
(Théorème du rang) L'espace des rangées et l'espace des colonnes d'une matrice ont les mêmes dimensions.
C'est un théorème très simple et magnifique. Il conduit à plus d'aperçus sur les matrices, comme suit :
Soit une matrice , alors :
Une définition dont le débutant devrait être conscient est qu'une matrice est considérée comme ayant un rang complet si ses vecteurs de colonnes sont linéairement indépendants. On parle également du rang complet de l'espace des rangées, et la définition est analogue.
Sans raisonnement ni preuve plus approfondis, nous terminons ici avec les caractéristiques suivantes :
Soit une matrice . Alors :
et ont le même noyau et espace des rangées
et ont le même noyau et espace des rangées
et ont le même espace des colonnes
et ont le même espace des colonnes
, et ont le même rang
Pivot de Gauss
Le pivot de Gauss est un théorème qui motive l'algorithme à produire une base pour l'espace colonne. Avant d'aborder l'algorithme ou le théorème, nous devons définir les colonnes pivots.
Les colonnes pivots sont les vecteurs colonnes qui correspondent à ceux ayant des uns en première position dans une matrice réduite par lignes.
Donc, un exemple est que les vecteurs colonnes 1, 3 et 5 dans la matrice suivante sont des colonnes pivots :
Maintenant, nous sommes prêts pour le théorème du pivot.
(Le théorème du pivot de Gauss) Les colonnes pivots dans une matrice forment une base pour l'espace colonne de .
Donc, avec le théorème, nous pouvons lire que les vecteurs suivants forment une base pour l'espace colonne de la matrice :
Nous terminons cette section avec le théorème de factorisation colonne-ligne qui fournit une application pratique de la base pour l'espace colonne et l'espace ligne, respectivement.
(Factorisation colonne-ligne) Si est une matrice non nulle de rang , alors peut être factorisée comme suit :
où est une matrice dont les vecteurs colonnes sont les colonnes pivots de la matrice (= les vecteurs de base de l'espace colonne) et est une matrice dont les vecteurs de ligne sont les vecteurs de base de l'espace de ligne de .
Exemples du théorème ci-dessus :
