Produit vectoriel
La multiplication entre deux vecteurs n'est pas définie, mais il existe deux définitions où la multiplication est encore utilisée entre les éléments ; le produit scalaire et le produit vectoriel. Le produit scalaire est une simple somme de produits, tandis que le produit vectoriel dérive de la définition du déterminant, ce qui est reconnaissable. Alors que le produit scalaire de deux vecteurs donne un scalaire, le produit vectoriel entre deux vecteurs est un nouveau vecteur qui est orthogonal aux deux vecteurs. Une différence est que le produit vectoriel est seulement défini pour trois dimensions (), tandis que le produit scalaire est défini pour toutes les dimensions de l'espace.
Nous résumons :
Soient et des vecteurs dans . Alors le produit vectoriel de et est noté et est défini comme :
ou de manière équivalente :
L'évolution du produit vectoriel peut être déduite de la définition du déterminant . Ainsi, laissons le produit vectoriel être exprimé comme la combinaison linéaire des vecteurs unitaires , et :
où , et sont des cofacteurs au déterminant comme suit :
Les propriétés suivantes s'appliquent aux produit vectoriel:
Soit , et vecteurs en et un scalaire. Alors:
Aire
La formule de l'aire d'un parallélogramme est la base multipliée par la hauteur. En fait, le produit vectoriel de et est lié à la surface que les deux vecteurs couvrent, à savoir que son résultat est égal à l'aire de sa surface. Nous avons l'énoncé suivant :
Soient et des vecteurs non nuls dans et soit l'angle entre ces deux. Soit l'aire qu'ils couvrent. Il s'applique alors que :
Premièrement, nous devons prouver que :
Le côté droit suit la formule "la base multipliée par la hauteur". Le terme donne la hauteur via la trigonométrie de base, avec la base étant . De l'identité trigonométrique de Pythagore, nous avons :
Voici le raisonnement :
Produit mixte
Comme une extension de la façon dont le produit vectoriel est lié à la surface tendue par ses deux vecteurs, nous définissons le produit mixte comme suit ; Soient , et trois vecteurs non nuls dans . Alors le produit mixte est défini comme :
Pour l'interprétation géométrique, correspond au volume du parallélépipède que les trois vecteurs tendent.
Nous avons la forme générale du volume , c'est-à-dire que la base est multipliée par la hauteur , où la base est la surface tendue par les vecteurs et .
Ainsi, l'interprétation géométrique est déduite.
Vecteurs normaux
Un normal est un vecteur dont la direction est orthogonale (forme un angle droit) à un autre objet. Cet objet peut être un autre vecteur, un plan, un hyperplan ou même un objet géométrique tel qu'une surface non linéaire. Ce dernier n'est pas traité dans un cours d'algèbre linéaire, mais est un élément évident de l'analyse multivariable.
La façon la plus simple de créer un vecteur normal pour un plan est de prendre deux vecteurs appartenant au plan, et , et de calculer leur produit vectoriel :
