Noyau
Le noyau d'une transformation linéaire se réfère à tous les vecteurs qui se mappent sur le vecteur zéro et est souvent noté ker. Une autre explication est que le noyau est l'ensemble des solutions du système d'équations homogène . Le noyau s'utilise pour parler de deux conceptes différents: l'ensemble d'élements du domaine d'une transformation linéaire qui seront envoyés a zéro, y les vecteurs mappés sur le vecteur zéro pour la matrice de tranformation d'une transformation linéaire. La différence es surtout sémantique, y nous n'allons par demeurer plus dans cette discussion.
Si nous revenons à la définition du noyau, nous pouvons nous référer algébriquement à la définition suivante.
Soit :
une transformation linéaire avec le domaine et le codomaine . Alors nous appelons l'ensemble de tous les vecteurs qui satisfont à l'équation suivante pour :
comme le noyau, qui peut être décrit comme un ensemble de vecteurs en relation avec la transformation linéaire comme :
La définition visuelle du noyau est dans l'image suivante, notée ker :
Le noyau de trois transformations
Prenons les trois transformations linéaires de la projection, de la réflexion et de la rotation comme exemples et listons leurs noyaux :
Projection - l'ensemble de tous les vecteurs qui sont orthogonaux à l'objet sur lequel se réfère la projection
Réflexion - uniquement le vecteur zéro
Rotation - uniquement le vecteur zéro
Image
L'image d'une transformation linéaire se réfère à tous les vecteurs dans le codomaine qui proviennent d'au moins un vecteur dans le domaine. Une autre définition est que l'image d'une transformation linéaire se réfère à l'ensemble de toutes ses transformations possibles. Une troisième formulation pourrait être que l'image d'une transformation linéaire est toutes les combinaisons linéaires possibles des colonnes de sa matrice de transformation.
L'intention n'est pas de confondre la définition de l'image avec trois exemples différents. Le but est d'offrir plus de formulations, afin que la chance qu'une d'entre elles puisse être perçue comme compréhensible par le débutant soit plus élevée. Avant l'examen, cependant, les trois exemples de définition devraient être perçus comme compréhensibles. (Note aussi que si nous avons une fonction , et la donne une élément dans son domaine, alors on appelle l'image de par .)
L'image (dans le sense qui nous intéresse ici) et l'espace colonne est généralement considéré pratiquement comme expressions équivalentes. Un mathématicien peut argumenter que l'espace colonne est essentiellement le même concept que l'image car les définitions sont analogues, mais la différence sémantique est que l'image est destinée à une transformation linéaire, tandis que l'espace colonne est destiné à la matrice de transformation d'une transformation linéaire. En termes pratiques, dans un cours de base en algèbre linéaire, les deux expressions sont généralement traitées comme équivalentes.
La définition de l'image peut être écrit algébriquement comme :
Soit :
une transformation linéaire avec le domaine et le codomaine . Alors nous appelons l'ensemble de tous les vecteurs qui est une solution à l'équation :
l'image ou la transformation de . Elle peut également être décrite comme un ensemble de vecteurs en relation avec la transformation linéaire comme :
La définition visuelle de l'image peut être trouvée dans l'image suivante, notée Im :
L'image pour trois transformations
Prenons les trois transformations linéaires de la projection, de la réflexion et de la rotation comme exemples et listons leurs images :
Projection - le sous-espace qui est l'objet sur lequel se réfère la projection.
Réflexion - tout l'espace
Rotation - tout l'espace
