Forme quadratique

Introduction

Un cours d'algèbre linéaire épuise plus ou moins les expressions suivantes

dans l'étude des équations linéaires et des systèmes linéaires. Nous avons seulement considéré les variables à leur première puissance, ce qui signifie que nous n'avons pas de variables élevées au carré ou plus. Contrairement aux formes linéaires, nous considérons maintenant les formes quadratiques ;

où représente tous les termes de produit croisé possibles dans lesquels et sont distincts. Considère les exemples suivants pour et respectivement pour clarifier les termes de produit croisé ;

Une forme quadratique générale sur ressemble à

tandis que la forme quadratique sur ressemble à

Les deux exemples peuvent être réécrits sous forme matricielle comme suit ;

Note que les matrices utilisées ci-dessus sont symétriques, avec leurs éléments diagonaux correspondant aux coefficients des termes carrés. Nous appelons la fonction

la forme quadratique associée à , qui peut également être exprimée en notation de produit scalaire comme ;

Trois problèmes

En parlant de formes quadratiques, il y a trois problèmes importants, ou questions, que l'on rencontre à leur sujet. Lorsque nous étudions la fonction quadratique

nous considérons les trois questions suivantes ;

Est-ce que n'assume que des valeurs positives, seulement des valeurs négatives, ou les deux ? étant donné que
Quel type de courbe ou de surface traitons-nous ? étant donné que est défini dans , ou dans
Quelles sont les valeurs maximales et minimales pour sur ? étant donné que est contraint de satisfaire

Les deux premières questions sont abordées ici, tandis que la troisième fait partie de la branche mathématique de la Théorie de l'Optimisation, et n'est donc pas traitée dans cette section. Nous commençons par partager une approche pratique à la première question, suivie par l'introduction des noms des surfaces et leur lien avec les propriétés de la matrice .

Théorème de l'axe principal

Le théorème des axes principaux est utile pour répondre au problème suivant lié aux fonctions quadratiques ;

Est-ce que la forme quadratique n'assume que des valeurs positives, seulement des valeurs négatives, ou les deux ?

La question est difficile à comprendre lorsqu'on traite une fonction quadratique en raison de ses termes de produit croisé. Par conséquent, elle est beaucoup plus facilement abordable lorsqu'il n'y a pas de termes de produit croisé à considérer. Commençons simplement !

Intro sans termes de produit croisé

D'abord, revisitons la forme quadratique dans sans aucun terme de produit croisé ;

Note que nous nommons la matrice pour cette forme quadratique , car la matrice est diagonale lorsqu'il n'y a pas de termes de produit croisé. Comme ceci ;

Puisque toutes les variables sont au carré, rendant tous les composants négatifs de positifs, le signe de est déterminé par le signe des coefficients. Nous avons les trois cas suivants pour la somme ;

n'assume que des valeurs positives si, et seulement si, tous les coefficients sont positifs.
n'assume que des valeurs négatives si, et seulement si tous les coefficients sont négatifs.
assume des valeurs positives et négatives si, et seulement si les coefficients assument à la fois des valeurs positives et négatives.

C'est bien et bon, mais en considérant la forme quadratique générale dans ,

nous rencontrons des termes de produit croisé, et ils rendent compliqué de déduire quelles valeurs assume. Cependant, et si nous pouvions transformer en sans termes de produit croisé ? ne serait-ce pas agréable ? La clé est que la matrice est symétrique, signifiant que est orthogonalement diagonalisable. Peut-être cela allume-t-il une étincelle ?

Se débarrasser des termes de produit croisé

D'abord, un rappel !

Rappelons que toutes les matrices symétriques sont orthogonalement diagonalisables. Il s'ensuit qu'il existe une matrice orthogonale d'eigenvecteurs, et une matrice diagonale d'eigenvalues, de sorte que nous pouvons réécrire en ;

où puisque est une matrice orthogonale.

Maintenant, notre approche est de déduire quelles valeurs assume en suivant cette ligne de pensée pour se débarrasser des termes de produit croisé ;

Faire un changement de variable afin que
nous puissions utiliser la diagonalisation orthogonale
pour nous débarrasser des termes de produit croisé.

Assez simple non ? faisons-le ! Nous avons ;

Faisons un changement de variable où est une matrice orthogonale avec les eigenvecteurs de
et maintenant, nous nous sommes débarrassés des termes de produit croisé de

Nous pouvons maintenant facilement déduire les valeurs de en examinant (sans termes de produit croisé) et en appliquant nos trois cas susmentionnés pour la somme de . Ce résultat constitue le théorème suivant ;

Théorème des Axes Principaux

Soit

une fonction quadratique, où est une matrice symétrique . Il existe alors un changement de variable

qui transforme en la fonction quadratique qui n'a pas de termes de produit croisé. est une matrice orthogonale qui diagonalise orthogonalement . Faire le changement de variable de donne la forme quadratique

où sont les eigenvalues de correspondant au même ordre successif des colonnes de , qui sont les eigenvecteurs de .

Matrice définie positive

En parlant de fonctions quadratiques, on se demande si elle n'assume que des valeurs positives, seulement des valeurs négatives, ou les deux. Pour déterminer le cas d'une fonction quadratique spécifique , nous nous débarrassons des termes de produit croisé en appliquant le théorème des axes principaux pour la transformer en la fonction quadratique . Ensuite, nous déduisons facilement le cas actuel pour donné en inspectant . Chaque cas est naturellement associé à un nom, et les noms sont respectivement définie positive, définie négative et indéfinie.

Supposons que soit une fonction quadratique et nous la transformons en

où les valeurs propres de la matrice indiquent quelles valeurs assume. Nous avons que ;

n'assume que des valeurs positives si, et seulement si, toutes les valeurs propres sont positives.
n'assume que des valeurs négatives si, et seulement si toutes les valeurs propres sont négatives.
assume à la fois des valeurs positives et négatives si, et seulement si les valeurs propres assument à la fois des valeurs positives et négatives.

Note que dans les trois cas ci-dessus, nous faisons référence aux coefficients comme valeurs propres de , puisque c'est ce que le théorème des axes principaux nous fournit. Maintenant, comment appelons-nous la fonction (et sa matrice correspondante , d'ailleurs) pour chacun des cas ;

et sont dites définies positives si toutes les valeurs propres de sont positives.
et sont dites définies négatives si toutes les valeurs propres de sont négatives.
et sont dites indéfinies si les valeurs propres de assument à la fois des valeurs positives et négatives.

Cependant, deux autres cas, semi-définie positive et semi-définie négative, sont nécessaires pour compléter tous les résultats possibles, conduisant à un total de cinq cas. Nous résumons ici les cinq cas, avec les exigences correspondantes sur les valeurs propres de .

pour est dite définie positive et se produit seulement lorsque toutes les valeurs propres sont positives, c'est-à-dire .
pour est dite semi-définie positive et se produit seulement lorsque toutes les valeurs propres sont non négatives, c'est-à-dire
pour est dite définie négative et se produit seulement lorsque toutes les valeurs propres sont négatives, c'est-à-dire
pour est dite semi-définie négative et se produit seulement lorsque toutes les valeurs propres sont non positives, c'est-à-dire
qui assume à la fois des valeurs positives et négatives est dite indéfinie et se produit seulement lorsque les valeurs propres assument à la fois des valeurs positives et négatives.

Surfaces et courbes

La deuxième question qui vient à l'esprit lorsqu'on parle de fonctions quadratiques est graphique et donc liée au cas de ou . La question est

Quel type de courbe ou de surface traitons-nous ?

Pour répondre à la question, nous devons introduire la notion de section conique, parfois simplement appelée conique. La section conique est le résultat de la coupe d'un cône à double nappe avec un plan. Les sections coniques les plus importantes sont illustrées ci-dessous : cercle (en haut à gauche), ellipse (en haut à droite), parabole (en bas à gauche) et hyperbole (en bas à droite).

Nous ne discutons pas ici de géométrie analytique, mais donnons un aperçu de la façon dont la forme quadratique est liée aux sections coniques.

Disons donc que nous avons une équation quadratique dans à résoudre, comme dans

où est une constante. Si l'équation est l'équation d'une conique, et si , nous pouvons facilement diviser les deux côtés par pour obtenir

où

En tournant les axes de coordonnées pour éliminer les éventuels termes de produit croisé (selon le théorème des axes principaux), nous avons réduit l'équation originale en

où et sont les valeurs propres de la matrice , et ils déterminent quel type de conique est représenté par cette équation par les trois cas suivants si est une matrice ;

représente une ellipse si, et seulement si, les deux valeurs propres sont positives, c'est-à-dire est définie positive
n'a pas de graphique si, et seulement si, les deux valeurs propres sont négatives, c'est-à-dire est définie négative
représente une hyperbole si, et seulement si, les valeurs propres sont à la fois positives et négatives, c'est-à-dire est indéfinie.