Espace nul et espace des colonnes

L'espace des colonnes se réfère au sous-espace qui est engendré par les vecteurs colonnes (les vecteurs verticaux) d'une matrice et est noté comme . L'espace des colonnes est équivalent à l'image si nous considérons comme une matrice de transformation pour une transformation linéaire. Soit :

et la matrice soit une matrice de transformation pour . Cela signifie que est multiplié par des vecteurs dans , résultant en des vecteurs dans . L'espace des colonnes est un sous-espace de .

Pour trouver l'espace des colonnes d'une matrice , nous devons déterminer quelles colonnes sont linéairement indépendantes, afin qu'elles puissent former une base pour l'espace des colonnes. Ceci est fait avec l'aide de la méthode de Gauss-Jordan.

Soit :

Alors, avec l'aide des opérations sur les rangées, nous obtenons la forme échelonnée réduite :

Alors nous voyons que les colonnes un et deux ont des uns en tête, ce qui indique que les vecteurs colonnes 1 et 2 de la matrice originale forment une base pour l'espace des colonnes. Nous avons :

Le noyau de la matrice se réfère au sous-espace qui consiste en l'ensemble des solutions de l'équation :

et est noté comme . Pour tous les systèmes d'équations linéaires, exactement un des trois cas suivants s'applique à ses solutions : une solution unique, aucune solution ou une infinité de solutions. Le cas spécial avec le système d'équations homogène que nous avons maintenant (le terme de droite est égal à 0), est que nous avons au moins une solution, à savoir (solution triviale). Cela signifie que nous avons seulement deux résultats restants des trois originaux et pouvons dire, pour un système d'équations homogène, que nous avons seulement les alternatives solution unique ou une infinité de solutions.

Nous pouvons considérer comme une matrice de transformation pour la transformation linéaire . Soit :

et la matrice soit une matrice de transformation pour . Cela signifie que est multiplié par des vecteurs dans , ce qui résulte en des vecteurs dans . Le noyau est un autre sous-espace de .

Pour trouver le noyau d'une matrice , nous devons déterminer l'ensemble des solutions du système d'équations homogènes pour . Ceci est fait à nouveau avec l'aide de la méthode de Gauss-Jordan.

Soit :

Alors, avec l'aide des opérations sur les rangées, nous avons la forme échelonnée réduite :

Nous voyons que nous avons une ligne zéro, et donc nous avons un nombre infini de solutions. Nous introduisons un paramètre et continuons à résoudre :

et nous voyons que l'ensemble des solutions forme une ligne.

Donc, nous avons que le noyau est engendré par le vecteur et pouvons écrire le noyau comme :

Le résultat est basé sur le théorème :

L'espace des rangées englobe les rangées d'une matrice et est noté comme . L'espace des rangées est développé avec l'aide de la méthode de Gauss-Jordan. Allons directement à l'exemple.

Soit :

Alors, avec l'aide des opérations sur les rangées, nous obtenons la forme échelonnée réduite :

Nous voyons que nous avons une rangée zéro, et les deux rangées avec des uns en tête forment une base pour l'espace des rangées. Donc, nous voyons que l'espace des rangées est engendré par les vecteurs et et nous pouvons écrire l'espace des rangées comme :

Le résultat est basé sur le théorème suivant :

Le complément orthogonal peut être soit un vecteur unique soit un ensemble de vecteurs formant un sous-espace. Abordons cela d'abord avec un exemple, puis prenons la définition générale plus tard.

Soit le sous-espace de soit tous les vecteurs le long de la ligne :

Nous pouvons exprimer comme :

Nous voyons que tous les vecteurs qui sont orthogonaux à la ligne constituent le sous-espace , c'est-à-dire, le complément orthogonal à . Donc, nous avons :

Nous sommes prêts pour la définition générale :

Nous avons aussi quelques énoncés utiles :

Nous avons aussi les énoncés suivants à exploiter :

Le rang d'une matrice est le nombre de colonnes avec des uns en tête restants après avoir réduit la matrice à sa forme échelonnée réduite. Il est équivalent à la dimension de l'espace des colonnes / image.