Déterminant

Le déterminant est un scalaire et est noté :

Le déterminant peut être introduit à la fois tardivement et précocement dans un cours d'algèbre linéaire. Quant à ce qu'il est, les étudiants sont traditionnellement d'abord introduits à la façon dont le déterminant est calculé et plus tard à la connexion pratique et son interprétation géométrique.

Nous choisissons de faire le contraire.

Le déterminant indique si un système linéaire d'équations a des solutions ou non. Souviens-toi des trois cas ; solution unique, infinité de solutions ou aucune solution.

Si le déterminant est nul, le système a "une infinité de solutions" ou "aucune solution".

Si le déterminant est non nul, le système a une solution unique.

Le déterminant est interprété géométriquement comme le facteur d'échelle d'une transformation linéaire, à laquelle le débutant n'a malheureusement pas été généralement introduit lorsque les calculs de déterminants sont nécessaires.

En bref, chaque multiplication matricielle est une transformation linéaire, mais d'un point de vue pratique, on peut dire qu'une transformation linéaire est une matrice qui multiplie par un vecteur pour obtenir un résultat souhaité.

Un exemple simple serait une transformation linéaire qui fait tourner dans le sens des aiguilles d'une montre de l'angle et double sa longueur. Alors le facteur d'échelle, c'est-à-dire le déterminant, de serait .

La définition du déterminant d'une matrice forme la base pour calculer le déterminant d'une matrice .

Soit :

où la définition du déterminant est :

L'algorithme pour calculer le déterminant d'une matrice est réalisé en utilisant la somme de trois déterminants . Nous les produisons en développant une seule ligne ou colonne dans le déterminant (appelé expansion par cofacteur).

Soit :

et il s'applique que le déterminant de est :

où nous avons fait une expansion de la première ligne, car les scalaires de chaque matrice sont juste les éléments de la première ligne.

Maintenant, nous passons à la façon dont l'expansion est faite. Considérons le déterminant de :

Nous commençons par développer le long de la première ligne et commençons par le premier élément :

L'expansion se fait ensuite en sélectionnant la ligne et la colonne de l'élément actuel pour extraire les éléments restants comme un déterminant multiplié par :

Nous passons ensuite à l'élément suivant le long de la première ligne, , et obtenons :

Remarquez que l'expansion autour de vient avec un signe moins ! Nous y reviendrons sous peu.

Maintenant, nous continuons avec le dernier, et dernier élément à développer : .

Note que l'élément vient avec un signe plus !

Nous terminons maintenant le calcul en utilisant la définition du déterminant :

Ce qui conclut la formule pour le déterminant , ainsi que l'algorithme qui rend la définition facile à retenir au lieu d'apprendre la formule par cœur (quelque chose de nécessaire pour passer du statut de débutant).

La méthode ci-dessus peut facilement être étendue de manière analogue à des matrices plus grandes, c'est pourquoi nous avons commencé avec elle. Cependant, il existe un algorithme alternatif qui s'applique au déterminant , qui ressemble visuellement à la définition du déterminant :

Si nous étendons cette mentalité, nous obtenons une méthode qui fonctionne, mais qui ne fonctionne que pour calculer les déterminants . La méthode est appelée règle de Sarru.

Le calcul du déterminant, quelle que soit la dimension de la matrice , se fait de manière analogue à celui du déterminant - nous pouvons l'exprimer comme un algorithme pour chaque déterminant . Mais avant cela, nous expliquons pourquoi l'élément dans le calcul du déterminant avait un signe moins.

Considérons la matrice . Dans ce cas, chaque élément extrait de son déterminant porte avec lui un signe plus ou un signe moins selon sa position, selon le motif d'échiquier suivant :

Cela signifie que pour le déterminant , le signe caché pour chaque élément suit :

Par exemple, si nous choisissions d'étendre le long de la deuxième colonne, la somme des produits serait :

Note que les signes plus et moins écrits dans les déterminants ci-dessus ne doivent pas être faits dans aucun calcul, mais ont été faits maintenant à des fins éducatives uniquement.

La forme générale d'une expansion le long d'une ligne (expansion par cofacteur) pour le déterminant d'une matrice peut être écrite comme :

où est chaque élément dans la ligne sélectionnée , et est un cofacteur, qui est le déterminant des autres éléments qui ne partagent pas une ligne ou une colonne avec l'élément correspondant.

\item Répétez les étapes ci-dessus jusqu'à ce que la dernière somme de produits contienne uniquement des déterminants .
\end{enumerate}
L'algorithme montre que le calcul d'un déterminant peut être extrêmement laborieux si la dimension est élevée.

Note cependant l'avantage d'extraire une ligne, ou une colonne, dont de nombreux éléments sont zéro ! Cela signifie que la somme des produits développée est grandement réduite. Par exemple, comme dans :

Si le déterminant que tu calcules manque d'éléments zéro, ou n'en a pas assez pour simplifier grandement le calcul, tu peux, comme Gauss-Jordan, réduire par rangée le déterminant matriciel sans changer le déterminant. Ceci, et d'autres caractéristiques, sont discutés dans la section suivante.

Le matrice complémentaire d'une matrice est basée sur les expansions par cofacteur de . Cela devient intéressant dans un théorème pour l'expression de , si l'inverse existe. Notre définition de la matrice complémentaire est :

En utilisant la matrice complémentaire de , nous pouvons très facilement exprimer si l'inverse existe en utilisant le théorème suivant, que nous laissons non prouvé.

Nous allons maintenant montrer des exemples de tout cela. Soit la matrice inversible suivante :

dont les cofacteurs deviennent :

et donc la matrice des cofacteurs et la matrice complémentaire deviennent les suivantes :

Nous commençons par un théorème utile sur les lois pour réduire par rangée la matrice du déterminant avant une expansion par rangée pour maximiser le nombre d'éléments zéro.

La preuve du premier et du troisième point est un bon exercice pour le débutant, et une preuve directe d'un déterminant et d'un déterminant suffit pour convaincre. Pour créer une preuve mathématique durable, une preuve par induction est recommandée.

Le deuxième point découle de la définition du déterminant avec le schéma de caractères à motif d'échiquier dans la section précédente.

Avec l'aide de l'énoncé précédent, nous pouvons obtenir l'énoncé suivant :

Maintenant, nous sommes prêts pour le théorème le plus mémorable pour les étudiants, qui est basé sur les derniers théorèmes et les preuves que nous avons présentées sur la façon dont une matrice inversible peut être réduite par rangée à :

Un autre théorème utile pour l'arithmétique est :

L'énoncé suivant s'applique à l'inverse :

Nous terminons cette section en reliant un théorème qui est introduit avec l'inverse et les systèmes d'équations linéaires avec nos connaissances sur le déterminant.

Pour chaque équation :

où la matrice est inversible, il existe une solution unique pour chaque et . La règle de Cramer est une affirmation qui, avant tout, facilite l'expression de la solution , puisque nous n'avons pas de nombres dans la matrice .